Turunan Fungsi Aljabar: Rumus, Aturan Rantai, Garis Singgung, dan Nilai Maksimum

Speedometer motor menunjukkan kecepatan tepat di detik itu, bukan rata-rata sepanjang perjalanan. Mengukur perubahan sesaat seperti ini adalah tugas utama turunan (diferensial).

Di matematika SMA, turunan dipakai untuk mencari kemiringan garis singgung, menentukan kapan fungsi naik atau turun, dan menghitung nilai maksimum atau minimum, misalnya ukuran kotak dengan volume terbesar. Mari kita mulai dari dasarnya.

Setelah membaca catatan ini, kamu bisa:

• Memahami turunan sebagai limit dan sebagai gradien garis singgung.
• Memakai rumus dasar, aturan perkalian, pembagian, dan aturan rantai.
• Menentukan persamaan garis singgung kurva.
• Menentukan interval naik/turun dan titik stasioner.
• Menyelesaikan soal optimasi (nilai maksimum/minimum).

Definisi Turunan

Turunan fungsi f(x), ditulis f′(x) (dibaca "f aksen x"), didefinisikan sebagai limit berikut:

f′(x) = lim_h→0 f(x + h) − f(x)h

Bentuk di dalam limit adalah kemiringan garis yang menghubungkan dua titik pada kurva. Saat h makin kecil, kedua titik itu makin berdekatan sampai garisnya hanya "menyentuh" kurva di satu titik. Garis inilah yang disebut garis singgung.

Dengan definisi limit, tentukan turunan f(x) = x².

Lihat pembahasan

f(x + h) − f(x) = (x + h)² − x² = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h².

Dibagi h: 2x + h. Saat h → 0, hasilnya f′(x) = 2x.

Menghitung dengan definisi setiap kali tentu melelahkan. Karena itu, dari definisi tersebut diturunkan rumus-rumus praktis berikut.

Rumus Dasar Turunan

Fungsi f(x)	Turunan f′(x)	Keterangan
c (konstanta)	0	Konstanta tidak berubah
x	1
axn	n · a · xn−1	Pangkat turun ke depan, lalu dikurangi 1
u(x) ± v(x)	u′(x) ± v′(x)	Turunkan satu per satu

Tentukan turunan f(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7.

Lihat pembahasan

f′(x) = 4 · 3x³ − 3 · 2x² + 5 − 0 = 12x³ − 6x² + 5.

Bentuk akar dan pecahan bisa diubah ke pangkat dulu: √x = x^½ dan 1/x = x⁻¹. Setelah itu, rumus axⁿ tetap berlaku.

Aturan Perkalian, Pembagian, dan Rantai

(u · v)′ = u′v + uv′      uv′ = u′v − uv′v²

[u(x)]ⁿ′ = n · [u(x)]ⁿ⁻¹ · u′(x)

Tentukan turunan f(x) = (2x + 1)(x² − 3).

Lihat pembahasan

u = 2x + 1 → u′ = 2; v = x² − 3 → v′ = 2x.

f′(x) = 2(x² − 3) + (2x + 1)(2x) = 2x² − 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x − 6.

Tentukan turunan f(x) = (3x − 2)⁵.

Lihat pembahasan

Dengan aturan rantai, u = 3x − 2 sehingga u′ = 3.

f′(x) = 5(3x − 2)⁴ · 3 = 15(3x − 2)⁴.

Tentukan turunan f(x) = (x + 1)/(x − 1).

Lihat pembahasan

u = x + 1, u′ = 1; v = x − 1, v′ = 1.

f′(x) = [1 · (x − 1) − (x + 1) · 1]/(x − 1)² = −2/(x − 1)².

Persamaan Garis Singgung Kurva

Nilai turunan di suatu titik sama dengan gradien (kemiringan) garis singgung di titik tersebut. Jadi, untuk titik (x₁, y₁) pada kurva:

m = f′(x₁)     y − y₁ = m(x − x₁)

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² di titik (1, 1).

Lihat pembahasan

y′ = 2x, sehingga m = 2(1) = 2.

y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1.

Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Titik Stasioner

• f′(x) > 0 → fungsi naik pada interval tersebut.
• f′(x) < 0 → fungsi turun.
• f′(x) = 0 → titik stasioner, bisa berupa titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titik belok.

Untuk mengenali jenis titik stasioner, perhatikan tanda f′(x) di kiri dan kanannya: dari + ke − berarti maksimum, dari − ke + berarti minimum.

Tentukan titik stasioner dan interval naik/turun dari f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.

Lihat pembahasan

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).

f′(x) = 0 saat x = 1 atau x = 3.

• x < 1: f′ positif (naik); 1 < x < 3: f′ negatif (turun); x > 3: f′ positif (naik).
• Di x = 1, tanda berubah + ke −, sehingga maksimum: f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 → titik (1, 5).
• Di x = 3, tanda berubah − ke +, sehingga minimum: f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 → titik (3, 1).

Jadi fungsi naik pada x < 1 atau x > 3, dan turun pada 1 < x < 3.

Penerapan: Soal Nilai Maksimum dan Minimum

Langkah umum soal optimasi: (1) nyatakan besaran yang ingin dimaksimumkan/diminimumkan dalam satu variabel, (2) turunkan, (3) samakan dengan nol, (4) cek apakah hasilnya masuk akal.

Selembar karton berbentuk persegi dengan sisi 12 cm. Di keempat sudutnya dipotong persegi kecil bersisi x cm, lalu sisinya dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Tentukan x agar volume kotak maksimum.

Lihat pembahasan

Alas kotak berukuran (12 − 2x) × (12 − 2x) dan tingginya x, sehingga V(x) = x(12 − 2x)², dengan 0 < x < 6.

V′(x) = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x)(−2) = (12 − 2x)(12 − 2x − 4x) = (12 − 2x)(12 − 6x).

V′(x) = 0 → x = 6 (tidak mungkin, karena alasnya jadi nol) atau x = 2.

Volume maksimum: V(2) = 2 · 8² = 128 cm³.

Latihan Mandiri

1. Tentukan turunan f(x) = 4x³ − x² + 7.
   Kunci jawaban

   f′(x) = 12x² − 2x.

2. Tentukan turunan f(x) = √x + 1/x.
   Kunci jawaban

   f(x) = x^½ + x⁻¹, sehingga f′(x) = ½x^−½ − x⁻² = 1/(2√x) − 1/x².

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x³ − 2x di titik yang absisnya 2.
   Kunci jawaban

   y(2) = 8 − 4 = 4. y′ = 3x² − 2, sehingga m = 12 − 2 = 10.

   y − 4 = 10(x − 2) → y = 10x − 16.

4. Tentukan interval di mana f(x) = 2x³ − 9x² + 12x turun.
   Kunci jawaban

   f′(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) < 0 → 1 < x < 2.

5. Jumlah dua bilangan positif adalah 20. Tentukan hasil kali terbesar kedua bilangan itu.
   Kunci jawaban

   Misalkan bilangannya x dan 20 − x. P(x) = 20x − x², sehingga P′(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10.

   Hasil kali terbesar = 10 · 10 = 100.

Ringkasan Rumus Turunan

Konsep	Rumus
Pangkat	(axn)′ = n · axn−1
Perkalian	(uv)′ = u′v + uv′
Pembagian	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v2
Rantai	(un)′ = n · un−1 · u′
Garis singgung	y − y1 = f′(x1)(x − x1)
Naik / turun	f′ > 0 naik, f′ < 0 turun, f′ = 0 stasioner

Pertanyaan yang Sering Ditanyakan

Apa hubungan turunan dengan titik puncak fungsi kuadrat?

Untuk f(x) = ax² + bx + c, turunannya f′(x) = 2ax + b. Jika disamakan dengan nol, didapat x = −b/2a, persis rumus sumbu simetri. Jadi titik puncak parabola adalah titik stasionernya. Baca lagi materi fungsi kuadrat untuk membandingkan kedua cara.

Kenapa turunan konstanta sama dengan nol?

Karena konstanta tidak pernah berubah, laju perubahannya nol. Secara grafik, y = c adalah garis mendatar dengan kemiringan nol.

Apa yang perlu dikuasai sebelum belajar turunan?

Kuasai dulu limit fungsi aljabar, karena definisi turunan dibangun dari limit. Semua catatan terkait bisa kamu temukan di label Matematika.