Materi SBMPTN Matematika Eksponen Dan Logaritma

Pengertian Eksponen

Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan dengan:

a disebut bilangan pokok (basis),
n disebut bilangan pangkat.

Sifat-Sifat Eksponen

Untuk a, b, m, dan n anggota bilangan real berlaku sifat:

1. a^m. aⁿ = a^{m + n}

2. a^m : aⁿ

 = a^{m – n}

3. 1 : aⁿ = a^–n

4. (a^m)ⁿ = a^{m x n}

5. a⁰ = 1; a ≠ 0

6. aⁿ . bⁿ = (ab)ⁿ

7. a^m : b^m = (a : b)^m

8. ⁿ√(a^m) = a^{m : n}

Persamaan Eksponen

Bentuk        : af^(x) = 1 ⇒ f(x) = 0

Bentuk        : a^f(x) = a^p ⇒ f(x) = p

Bentuk        : a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)

Bentuk        : a^f(x) = b^f(x) ⇒ f(x) = 0

Bentuk        : a^2f(x)+b + a^{f(x)+ c} + d = 0 ⇒ a^2f(x) . a^b + a ^f(x) . a^c + d = 0

Pertidaksamaan Eksponen

1. Untuk 0 < a < 1 maka berlaku:

a^f(x) ≥ a^g(x)  ⇒   f(x) ≤ g(x)

 a^f(x) ≤ a^g(x)  ⇒   f(x) ≥ g(x)

2. Untuk a > 1 maka berlaku:

a^f(x) ≥ a^g(x)  ⇒   f(x) ≥ g(x)

 a^f(x) ≤ a^g(x)  ⇒   f(x) ≤ g(x)

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Jika aⁿ = b maka ^alogb = n
a disebut basis (bilangan pokok), a > 0 dan a ≠ 1,
b disebut bilangan yang dilogaritmakan, b > 0.

Sifat-Sifat Logaritma

1. log 1 = 0
2. log 10 = 1
3. ^alog b.c = ^alog b + ^alog c

4. ^alog b:c = ^alog b - ^alog c
5. ^alog bⁿ = n . ^alogb

6. ^alog a = 1
7. ^alog b = 1 / ^blog a = log b/log a =^plog b/ ^plog a

8. ^alog b . ^blog c . ^clog d = ^alog d

9. ^amlogbⁿ =^a logb^n:m = n:m ^alogb

10. a^alogb = b^aloga = b

Persamaan Logaritma

1. Bentuk : ^alog f(x) = ^alog p atau ^alog f(x) = c

Solusi  : f(x) = p atau f(x) = a^c

2. Bentuk : ^alog f(x) = ^blog p atau ^g(x)log f(x) = c

Solusi   : f(x) = p = 1 atau f(x) = g(x)^c

3. Bentuk : a (^plog x)² + b ^plog x + c = 0

Solusi   : Gunakan sifat persamaan kuadrat dengan memisalkan ^plog x menjadi x. Jadi persamaan barunya menjadi ax² + bx + c = 0. Setelah itu cari nilai x dengan pemfaktoran seperti biasa. Lalu jika sudah ditemukan nilai x dilanjutkan dengan mengembalikan permisalannya tadi menjadi ^plog x = nilai x.

4.Bentuk : a^f(x) = b^g(x)

Solusi  : Kedua ruas dilogaritmakanmenjadi: f(x) log a = g(x) log b

Pertidaksamaan Logaritma

1.  Untuk bilangan pokok a > 1, berlaku:

Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) maka: f(x) ≤ g(x)

Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) maka: f(x) ≥ g(x) 

2.  Untuk bilangan pokok 0 < a < 1, berlaku:

Jika ^alog f(x) ≤ ^alog g(x) maka: f(x) ≥ g(x)

Jika ^alog f(x) ≥ ^alog g(x) maka: f(x) ≤ g(x) 

Syarat: f(x) > 0 dan g(x) > 0.