Materi SBMPTN Matematika Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

ax² + bx + c = 0

ay² + by + c = 0

untuk a, b, c ∈ bilangan real

x, y variabel dan a ≠ 0

Rumus diskriminan:
D = b² – 4ac

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx +c = 0 maka akar-akar tersebut dapat diperoleh dengan cara:
a. Faktorisasi
ax² + bx + c = 0

(x ± x₁ ) (x ± x₂ ) = 0

Contoh:

 x² – 5x + 6 = 0

(x – 3)(x – 2) = 0

Maka x = 3 atau x = 2

b. Melengkapi Kuadrat Sempurna
ax² + bx + c = 0 di mana a = 1 maka:

x² + bx + c = 0

x² + bx + (b/2)² = -c + (b/2)²

Contoh:
x² + 6x + 8 = 0

x² + 6x + (6/2)² = -8 + (6/2)²

x² + 6x + 9 = -8 + 9

(x + 3 )² = 1

x + 3 = √1

x + 3 = 1 V x + 3 = -1

x₁ = -2 V x₂ = -4

c. Rumus Al-Khawarizmi (abc)

ax² + bx + c = 0

x_1,2 = {(-b ± √b²-4ac) / 2a}

Bentuk Simetri Akar-Akar

Persamaan Kuadrat
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx +c = 0 maka berlaku:

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ . x₂ = c/a
• x₁ - x₂ = √D/a

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Berdasarkan nilai diskriminan D = b2 – 4ac, akar-akar terbagi menjadi dua jenis, yaitu:
a. Jika D ≥ 0 maka akar-akarnya real,
• Jika D > 0, akarnya real berlainan
• Jika D = 0, akarnya real kembar

b. Jika D < 0, akar-akarnya tidak real.

Jika akar-akarnya real maka hubungan akar-akar x1 dan x2 mempunyai syarat-syarat, yaitu:
• Akar-akarnya real positif:

D ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁ . x₂ > 0

• Akar-akarnya real negatif:
D > 0, x₁ + x₂ = 0, x₁ . x₂ < 0
• Akar-akarnya berlawanan:
D > 0, x₁ + x₂ = 0, x₁ . x₂ < 0
• Akar-akarnya saling berkebalikan:
D > 0, x₁ . x₂ = 1

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

(x – a)(x – b) = 0
atau
x² – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
x2 – (JAA)x + (PAA) = 0

a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat
JAA = Jumlah akar-akar (a + b)
PAA = Perkalian akar-akar (a.b)

Jika akar-akarnya adalah kebalikan dari akar-akar
yang diketahui maka:
ax2 + bx + c = 0 menjadi cx2 + bx + a = 0