Barisan dan Deret Aritmetika & Geometri: Rumus Lengkap dan Contoh Soal

Bayangkan kamu menabung Rp50.000 di bulan pertama, lalu setiap bulan setorannya naik Rp10.000. Berapa total tabunganmu setelah setahun? Daripada menjumlahkan 12 angka satu per satu, ada cara yang jauh lebih cepat, yaitu memakai deret aritmetika.

Barisan dan deret ada di mana-mana: cicilan, pertumbuhan bakteri, pantulan bola, sampai susunan kursi di gedung pertunjukan. Yuk kita bedah satu per satu.

Setelah membaca catatan ini, kamu bisa:

• Membedakan barisan aritmetika dan geometri.
• Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku pertama.
• Menghitung jumlah deret geometri tak hingga.
• Menyelesaikan soal cerita tabungan, pertumbuhan, dan pantulan.

Barisan vs Deret, Apa Bedanya?

Barisan adalah daftar bilangan yang tersusun mengikuti pola tertentu, misalnya 3, 7, 11, 15, …. Setiap bilangan disebut suku, ditulis U₁, U₂, U₃, dan seterusnya.

Deret adalah jumlah suku-suku barisan, misalnya 3 + 7 + 11 + 15 + …. Jumlah n suku pertama ditulis S_n.

Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika punya selisih tetap antara dua suku berurutan. Selisih ini disebut beda dan dilambangkan b.

b = U_n − U_n−1     U_n = a + (n − 1)b

Di sini a adalah suku pertama (U₁) dan n adalah nomor suku.

S_n = n2(2a + (n − 1)b)   atau   S_n = n2(a + U_n)

Kenapa rumusnya begitu? Jumlahkan suku pertama dengan suku terakhir, suku kedua dengan suku kedua dari belakang, dan seterusnya. Setiap pasangan hasilnya sama, yaitu a + U_n, dan banyak pasangannya n/2. Ini trik yang konon dipakai Gauss kecil saat menjumlahkan 1 sampai 100.

Diketahui barisan 3, 7, 11, 15, …. Tentukan suku ke-20 dan jumlah 20 suku pertamanya.

Lihat pembahasan

a = 3, b = 7 − 3 = 4.

U₂₀ = 3 + (20 − 1) · 4 = 3 + 76 = 79.

S₂₀ = 20/2 · (3 + 79) = 10 · 82 = 820.

Suku ke-3 sebuah barisan aritmetika adalah 10 dan suku ke-7 adalah 22. Tentukan suku ke-10.

Lihat pembahasan

U₇ − U₃ = (a + 6b) − (a + 2b) = 4b → 22 − 10 = 4b → b = 3.

Dari U₃ = a + 2b = 10 → a = 10 − 6 = 4.

U₁₀ = 4 + 9 · 3 = 31.

Ani menabung Rp50.000 pada bulan pertama, dan setiap bulan setorannya bertambah Rp10.000. Berapa total tabungannya setelah 12 bulan?

Lihat pembahasan

Ini deret aritmetika dengan a = 50.000, b = 10.000, n = 12.

S₁₂ = 12/2 · (2 · 50.000 + 11 · 10.000) = 6 · (100.000 + 110.000) = 6 · 210.000 = Rp1.260.000.

Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri punya perbandingan tetap antara dua suku berurutan. Perbandingan ini disebut rasio dan dilambangkan r.

r = U_nU_n−1     U_n = a · rⁿ⁻¹

S_n = a(rⁿ − 1)r − 1  untuk r > 1     S_n = a(1 − rⁿ)1 − r  untuk r < 1

Kedua rumus jumlah itu sebenarnya sama. Pilihan bentuknya hanya supaya penyebutnya positif dan hitungannya lebih nyaman.

Diketahui barisan 2, 6, 18, …. Tentukan suku ke-6 dan jumlah 6 suku pertamanya.

Lihat pembahasan

a = 2, r = 6/2 = 3.

U₆ = 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486.

S₆ = 2(3⁶ − 1)/(3 − 1) = 2 · 728 / 2 = 728.

Sebuah koloni berisi 100 bakteri. Setiap 20 menit, setiap bakteri membelah menjadi dua. Berapa banyak bakteri setelah 2 jam?

Lihat pembahasan

2 jam = 120 menit = 6 kali pembelahan. Jumlah bakteri berlipat 2 setiap kali, jadi r = 2.

Banyak bakteri = 100 · 2⁶ = 100 · 64 = 6.400 bakteri.

Perhatikan: yang ditanya kondisi setelah 6 kali pembelahan, jadi pangkatnya 6. Dalam bahasa U_n, ini adalah U₇ karena U₁ = 100 adalah kondisi awal.

Deret Geometri Tak Hingga

Kalau rasionya berada di antara −1 dan 1, suku-suku barisan geometri makin lama makin kecil dan mendekati nol. Akibatnya, jumlah tak berhingga sukunya tetap menuju satu nilai tertentu (konvergen).

S_∞ = a1 − r,    syarat −1 < r < 1

Hitunglah jumlah deret 8 + 4 + 2 + 1 + ….

Lihat pembahasan

a = 8, r = ½. Karena −1 < r < 1, deretnya konvergen.

S_∞ = 8 / (1 − ½) = 8 / ½ = 16.

Cara Cepat Membedakan Aritmetika dan Geometri

	Aritmetika	Geometri
Pola	Ditambah bilangan tetap	Dikali bilangan tetap
Ciri khas	Beda b = U2 − U1	Rasio r = U2 / U1
Suku ke-n	a + (n − 1)b	a · rn−1
Bentuk grafik	Naik/turun seperti garis lurus	Naik/turun makin cepat (eksponensial)

Latihan Mandiri

1. Tentukan suku ke-15 dari barisan 5, 8, 11, ….
   Kunci jawaban

   a = 5, b = 3. U₁₅ = 5 + 14 · 3 = 47.

2. Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret 2 + 4 + 8 + ….
   Kunci jawaban

   a = 2, r = 2. S₁₀ = 2(2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 2 · 1.023 = 2.046.

3. Pada barisan geometri, U₂ = 6 dan U₅ = 48. Tentukan U₇.
   Kunci jawaban

   U₅/U₂ = r³ = 8 → r = 2, a = 3. U₇ = 3 · 2⁶ = 192.

4. Hitunglah jumlah semua bilangan kelipatan 3 antara 1 dan 100.
   Kunci jawaban

   Barisannya 3, 6, …, 99, sehingga n = 33. S₃₃ = 33/2 · (3 + 99) = 33 · 51 = 1.683.

5. Bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Setiap memantul, tingginya menjadi ¾ dari tinggi sebelumnya. Berapa panjang seluruh lintasan bola sampai berhenti?
   Kunci jawaban

   Lintasan turun pertama 10 m. Setelah itu, setiap pantulan naik lalu turun dengan tinggi yang sama: 7,5 + 5,625 + …, dengan S_∞ = 7,5 / (1 − ¾) = 30 m.

   Total = 10 + 2 · 30 = 70 m.

Pertanyaan yang Sering Ditanyakan

Bagaimana kalau rasio deret geometri tak hingga lebih dari 1?

Suku-sukunya akan terus membesar, sehingga jumlahnya tidak menuju satu nilai (divergen). Rumus S_∞ = a/(1 − r) hanya berlaku untuk −1 < r < 1.

Apakah barisan bisa aritmetika sekaligus geometri?

Bisa, tapi hanya barisan konstan, misalnya 5, 5, 5, …. Bedanya 0 dan rasionya 1.

Materi apa yang berkaitan dengan barisan dan deret?

Deret geometri tak hingga erat kaitannya dengan konsep limit, karena kita melihat jumlah yang "mendekati" suatu nilai. Lihat juga catatan Matematika lainnya.