Perbandingan Trigonometri: Sin, Cos, Tan, Sudut Istimewa, dan Contoh Soal

Bagaimana cara mengukur tinggi tiang bendera tanpa memanjatnya? Atau menghitung lebar sungai tanpa menyeberang? Jawabannya ada di trigonometri, cabang matematika yang menghubungkan sudut dengan panjang sisi segitiga.

Catatan ini fokus pada fondasinya: perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Kalau bagian ini sudah kuat, materi trigonometri berikutnya akan terasa jauh lebih ringan.

Setelah membaca catatan ini, kamu bisa:

• Menentukan sisi depan, samping, dan miring terhadap suatu sudut.
• Menghitung nilai sin, cos, tan, serta kebalikannya.
• Memakai nilai sudut istimewa tanpa kalkulator.
• Menghitung sudut di kuadran II, III, dan IV dengan sudut berelasi.
• Menyelesaikan soal cerita sudut elevasi dan depresi.

Mengenal Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku

Perbandingan trigonometri selalu dilihat dari satu sudut lancip tertentu, misalnya sudut α. Dari sudut itu, ketiga sisi segitiga punya nama:

• Sisi miring: sisi terpanjang, berhadapan dengan sudut siku-siku.
• Sisi depan: sisi yang berhadapan langsung dengan sudut α.
• Sisi samping: sisi yang mengapit sudut α, tetapi bukan sisi miring.

Hati-hati: sisi depan dan sisi samping bisa bertukar kalau sudut yang dilihat berganti. Sisi miring tetap sama karena selalu berhadapan dengan sudut 90°.

Rumus Sin, Cos, dan Tan

sin α = depanmiring    cos α = sampingmiring    tan α = depansamping

Supaya mudah diingat, pakai jembatan keledai SinDeMi, CosSaMi, TanDeSa: Sin = Depan/Miring, Cos = Samping/Miring, Tan = Depan/Samping.

Ada juga tiga perbandingan kebalikan:

csc α = 1sin α    sec α = 1cos α    cot α = 1tan α

Segitiga siku-siku memiliki sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Sudut α berhadapan dengan sisi 3 cm. Tentukan sin α, cos α, dan tan α.

Lihat pembahasan

Sisi terpanjang 5 cm adalah sisi miring. Sisi depan α = 3 cm, sisi samping = 4 cm.

sin α = 3/5,  cos α = 4/5,  tan α = 3/4.

Diketahui sin α = 5/13 dan α sudut lancip. Tentukan cos α dan tan α.

Lihat pembahasan

sin α = 5/13 artinya depan = 5 dan miring = 13. Cari samping dengan teorema Pythagoras:

samping = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Jadi cos α = 12/13 dan tan α = 5/12.

Tabel Nilai Sudut Istimewa

Sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° sering muncul di soal tanpa kalkulator. Nilainya wajib dikuasai:

α	0°	30°	45°	60°	90°
sin α	0	½	½√2	½√3	1
cos α	1	½√3	½√2	½	0
tan α	0	⅓√3	1	√3	tak terdefinisi

Trik menghafal baris sin: tulis √0, √1, √2, √3, √4, lalu bagi semuanya dengan 2. Hasilnya 0, ½, ½√2, ½√3, 1. Baris cos adalah baris sin yang dibalik urutannya.

Hitunglah nilai sin 30° · cos 60° + tan 45°.

Lihat pembahasan

= ½ · ½ + 1 = ¼ + 1 = 5/4.

Sudut di Berbagai Kuadran dan Sudut Berelasi

Sudut tidak selalu lancip. Pada bidang koordinat, sudut 0° sampai 360° terbagi menjadi empat kuadran, dan tanda (positif/negatif) nilai trigonometrinya berbeda-beda:

Kuadran	Rentang sudut	Yang bernilai positif
I	0° – 90°	Semua (sin, cos, tan)
II	90° – 180°	sin saja
III	180° – 270°	tan saja
IV	270° – 360°	cos saja

Untuk menghitung sudut besar, ubah dulu ke sudut lancip dengan rumus sudut berelasi berikut, lalu sesuaikan tandanya dengan kuadran:

sin(180° − α) = sin α    cos(180° − α) = −cos α    tan(180° − α) = −tan α

sin(180° + α) = −sin α    cos(180° + α) = −cos α    tan(180° + α) = tan α

sin(360° − α) = −sin α    cos(360° − α) = cos α    tan(360° − α) = −tan α

Tentukan nilai sin 150°, cos 120°, dan tan 225°.

Lihat pembahasan

sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = ½ (kuadran II, sin positif).

cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −½ (kuadran II, cos negatif).

tan 225° = tan(180° + 45°) = tan 45° = 1 (kuadran III, tan positif).

Identitas Trigonometri Dasar

Dari teorema Pythagoras, depan² + samping² = miring². Kalau kedua ruas dibagi miring², muncul identitas paling terkenal dalam trigonometri:

sin² α + cos² α = 1     tan α = sin αcos α

Identitas ini sangat berguna untuk menyederhanakan bentuk trigonometri dan membuktikan kesamaan.

Penerapan: Sudut Elevasi dan Depresi

Sudut elevasi adalah sudut yang terbentuk saat kita melihat ke atas dari garis mendatar. Sudut depresi adalah sudut saat kita melihat ke bawah. Keduanya sering muncul di soal cerita.

Seseorang berdiri 20 m dari sebuah pohon dan melihat puncaknya dengan sudut elevasi 30°. Jika tinggi mata diabaikan, berapa tinggi pohon tersebut?

Lihat pembahasan

Jarak ke pohon adalah sisi samping, tinggi pohon adalah sisi depan. Yang menghubungkan depan dan samping adalah tan.

tan 30° = tinggi / 20 → tinggi = 20 · ⅓√3 = (20/3)√3 ≈ 11,55 m.

Latihan Mandiri

1. Diketahui cos α = 3/5 dan α lancip. Tentukan sin α dan tan α.
   Kunci jawaban

   Samping = 3, miring = 5, sehingga depan = 4. Jadi sin α = 4/5 dan tan α = 4/3.

2. Hitunglah sin 60° · cos 30° − sin 30° · cos 60°.
   Kunci jawaban

   = (½√3)(½√3) − (½)(½) = ¾ − ¼ = ½.

3. Sebuah tangga sepanjang 6 m bersandar di dinding dan membentuk sudut 60° dengan lantai. Berapa tinggi ujung atas tangga dari lantai?
   Kunci jawaban

   Tinggi = sisi depan, tangga = sisi miring. tinggi = 6 · sin 60° = 6 · ½√3 = 3√3 ≈ 5,2 m.

4. Tentukan nilai cos 300°.
   Kunci jawaban

   cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = ½ (kuadran IV, cos positif).

5. Sederhanakan bentuk (1 − cos² α) / sin α.
   Kunci jawaban

   Dari identitas, 1 − cos² α = sin² α. Maka sin² α / sin α = sin α.

Ringkasan

• Sin = depan/miring, cos = samping/miring, tan = depan/samping (SinDeMi CosSaMi TanDeSa).
• Kuasai tabel sudut istimewa 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
• Tanda positif tiap kuadran: I semua, II sin, III tan, IV cos.
• Identitas utama: sin² α + cos² α = 1.

Pertanyaan yang Sering Ditanyakan

Kenapa tan 90° tidak terdefinisi?

Karena tan α = sin α / cos α, sedangkan cos 90° = 0. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi, sehingga tan 90° juga tidak punya nilai.

Apakah nilai sin dan cos bisa lebih dari 1?

Tidak. Sisi miring selalu sisi terpanjang, jadi depan/miring dan samping/miring tidak pernah lebih dari 1. Nilai sin dan cos selalu berada di antara −1 dan 1. Nilai tan berbeda, karena bisa sebesar apa pun.

Lanjut belajar apa setelah trigonometri dasar?

Setelah ini kamu bisa mempelajari aturan sinus dan cosinus untuk segitiga sembarang. Untuk sekarang, cek juga materi fungsi kuadrat dan catatan Matematika lainnya.