Fungsi Kuadrat: Rumus, Cara Menggambar Grafik Parabola, dan Contoh Soal

Pernah memperhatikan lintasan bola basket yang dilempar ke ring, atau semburan air mancur di taman? Bentuk lengkungnya mirip huruf U terbalik. Dalam matematika, lengkungan seperti itu disebut parabola, dan rumus yang menghasilkannya adalah fungsi kuadrat.

Di catatan ini kita bahas fungsi kuadrat dari nol: bentuk umumnya, cara mencari titik-titik penting, cara menggambar grafiknya, sampai contoh soal cerita. Santai saja, kita jalan pelan-pelan.

Setelah membaca catatan ini, kamu bisa:

• Mengenali bentuk umum fungsi kuadrat dan arti koefisien a, b, c.
• Menentukan titik potong sumbu, sumbu simetri, dan titik puncak.
• Memakai diskriminan untuk menebak bentuk grafik tanpa menggambar.
• Menggambar grafik parabola dan menyelesaikan soal cerita nilai maksimum/minimum.

Apa Itu Fungsi Kuadrat?

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umumnya:

f(x) = ax² + bx + c,   dengan a ≠ 0

Syarat a ≠ 0 itu penting. Kalau a = 0, suku x² hilang dan fungsinya berubah jadi fungsi linear (garis lurus), bukan parabola lagi. Sementara b dan c boleh bernilai nol.

Beberapa contoh fungsi kuadrat:

• f(x) = x² − 4x + 3  → a = 1, b = −4, c = 3
• f(x) = −2x² + 8  → a = −2, b = 0, c = 8
• f(x) = 5x²  → a = 5, b = 0, c = 0

Peran Koefisien a, b, dan c pada Grafik

Koefisien a: arah dan lebar parabola

• a > 0: parabola terbuka ke atas (seperti huruf U) dan punya titik terendah (minimum).
• a < 0: parabola terbuka ke bawah (seperti huruf ∩) dan punya titik tertinggi (maksimum).
• Makin besar nilai |a|, parabola makin "ramping". Makin kecil |a|, makin "melebar".

Koefisien c: titik potong sumbu y

Saat x = 0, nilai fungsinya f(0) = c. Jadi grafik selalu memotong sumbu y di titik (0, c). Ini titik paling gampang dicari, cukup lihat konstantanya.

Koefisien b: menggeser posisi puncak

Nilai b (bersama a) menentukan letak sumbu simetri. Kalau b = 0, puncak parabola pasti berada tepat di sumbu y.

Titik-Titik Penting pada Grafik Fungsi Kuadrat

1. Titik potong dengan sumbu x

Grafik memotong sumbu x ketika f(x) = 0. Artinya, kita mencari akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0, bisa dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC:

x_1,2 = −b ± b² − 4ac2a

2. Sumbu simetri dan titik puncak

Parabola itu simetris. Garis yang membelahnya jadi dua bagian sama persis disebut sumbu simetri, dan titik paling ujung parabola disebut titik puncak (atau titik balik).

x_p = −b2a     y_p = −D4a  atau  y_p = f(x_p)

Trik hemat waktu: setelah dapat x_p, kamu tidak wajib menghafal rumus y_p. Cukup substitusikan x_p ke fungsinya. Hasilnya pasti sama.

3. Diskriminan: menebak bentuk grafik tanpa menggambar

Diskriminan adalah bagian di bawah akar pada rumus ABC:

D = b² − 4ac

Nilai D	Akar persamaan	Hubungan grafik dengan sumbu x
D > 0	Dua akar real berbeda	Memotong sumbu x di dua titik
D = 0	Dua akar kembar	Menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0	Tidak punya akar real	Tidak memotong sumbu x sama sekali

Kombinasi tanda a dan D juga punya istilah khusus: kalau a > 0 dan D < 0, grafik selalu di atas sumbu x sehingga disebut definit positif. Kalau a < 0 dan D < 0, grafik selalu di bawah sumbu x sehingga disebut definit negatif.

Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Supaya grafikmu rapi dan tidak asal melengkung, ikuti urutan ini:

1. Tentukan arah buka parabola dari tanda a.
2. Cari titik potong sumbu y, yaitu (0, c).
3. Cari titik potong sumbu x (jika D ≥ 0).
4. Hitung sumbu simetri dan titik puncak.
5. Kalau titiknya masih sedikit, tambahkan satu-dua titik bantu, lalu pakai sifat simetri untuk "mencerminkan" titik tersebut.
6. Hubungkan semua titik dengan kurva mulus (bukan garis patah-patah).

Gambarlah grafik fungsi f(x) = x² − 4x + 3.

Dari fungsi tersebut, a = 1, b = −4, dan c = 3.

• Arah buka: a = 1 > 0, jadi parabola terbuka ke atas.
• Titik potong sumbu y: (0, 3).
• Titik potong sumbu x: x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 atau x = 3. Titiknya (1, 0) dan (3, 0).
• Sumbu simetri: x_p = −(−4) / (2 · 1) = 2.
• Titik puncak: y_p = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, sehingga puncaknya (2, −1).
• Cek diskriminan: D = (−4)² − 4(1)(3) = 16 − 12 = 4 > 0, cocok dengan dua titik potong sumbu x.

Hasil grafiknya seperti gambar di bawah.

Menentukan Rumus Fungsi Kuadrat dari Grafik

Kadang soal membalik arah: grafiknya sudah diketahui, kita diminta mencari rumusnya. Ada tiga bentuk yang bisa dipilih sesuai informasi yang tersedia:

Informasi yang diketahui	Bentuk yang dipakai
Titik puncak (xp, yp) dan satu titik lain	f(x) = a(x − xp)2 + yp
Dua titik potong sumbu x, (x1, 0) dan (x2, 0), dan satu titik lain	f(x) = a(x − x1)(x − x2)
Tiga titik sembarang	f(x) = ax2 + bx + c (sistem tiga persamaan)

Sebuah parabola memiliki titik puncak (1, 4) dan melalui titik (0, 3). Tentukan rumus fungsinya.

Lihat pembahasan

Pakai bentuk puncak: f(x) = a(x − 1)² + 4.

Masukkan titik (0, 3): 3 = a(0 − 1)² + 4 → 3 = a + 4 → a = −1.

Jadi f(x) = −(x − 1)² + 4 = −x² + 2x + 3. Karena a negatif, parabolanya terbuka ke bawah dan titik (1, 4) adalah titik tertinggi.

Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasannya

Tentukan nilai k agar grafik f(x) = x² + 2x + k menyinggung sumbu x.

Lihat pembahasan

Menyinggung sumbu x berarti D = 0.

D = b² − 4ac = 2² − 4(1)(k) = 4 − 4k.

4 − 4k = 0 → k = 1. Cek: f(x) = x² + 2x + 1 = (x + 1)², memang menyentuh sumbu x hanya di x = −1.

Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Ketinggiannya setelah t detik dinyatakan dengan h(t) = −5t² + 20t (dalam meter). Berapa tinggi maksimum bola, dan kapan bola kembali ke tanah?

Lihat pembahasan

Karena a = −5 < 0, grafiknya terbuka ke bawah, jadi titik puncaknya adalah ketinggian maksimum.

Waktu saat puncak: t_p = −b / (2a) = −20 / (2 · (−5)) = 2 detik.

Tinggi maksimum: h(2) = −5(4) + 20(2) = −20 + 40 = 20 meter.

Bola menyentuh tanah saat h(t) = 0: −5t² + 20t = 0 → −5t(t − 4) = 0 → t = 0 (saat dilempar) atau t = 4 detik.

Perhatikan simetrinya: naik 2 detik, turun juga 2 detik.

Kawat sepanjang 40 cm akan dibentuk menjadi persegi panjang. Berapa luas terbesar yang bisa dibuat?

Lihat pembahasan

Keliling 40 cm berarti panjang + lebar = 20. Misalkan panjang = x, maka lebar = 20 − x.

Luas: L(x) = x(20 − x) = −x² + 20x.

Luas maksimum terjadi di x_p = −20 / (2 · (−1)) = 10, sehingga L(10) = 10 · 10 = 100 cm².

Ternyata bentuk terbaiknya persegi dengan sisi 10 cm.

Latihan Mandiri

Coba kerjakan dulu sebelum membuka kunci jawaban, ya. Kalau ada yang bikin bingung, tanyakan di kolom diskusi.

1. Tentukan titik puncak grafik f(x) = 2x² − 8x + 5.
   Kunci jawaban

   x_p = 8/4 = 2; f(2) = 8 − 16 + 5 = −3. Titik puncak (2, −3).

2. Tentukan titik potong sumbu x dari f(x) = −x² + 6x − 5.
   Kunci jawaban

   −x² + 6x − 5 = 0 → x² − 6x + 5 = 0 → (x − 1)(x − 5) = 0. Titiknya (1, 0) dan (5, 0).

3. Untuk nilai m berapa grafik f(x) = x² − mx + 9 tidak memotong sumbu x?
   Kunci jawaban

   Syarat D < 0: m² − 36 < 0 → (m − 6)(m + 6) < 0 → −6 < m < 6.

4. Parabola berpuncak di (−2, 1) dan melalui (0, 5). Tentukan rumus fungsinya.
   Kunci jawaban

   f(x) = a(x + 2)² + 1. Dari (0, 5): 4a + 1 = 5 → a = 1. Jadi f(x) = x² + 4x + 5.

5. Apakah f(x) = 2x² − 3x + 4 definit positif?
   Kunci jawaban

   a = 2 > 0 dan D = 9 − 32 = −23 < 0. Jadi ya, definit positif: grafiknya selalu di atas sumbu x.

Ringkasan Fungsi Kuadrat

Konsep	Rumus / Ciri
Bentuk umum	f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
Arah buka	a > 0 ke atas (minimum), a < 0 ke bawah (maksimum)
Titik potong sumbu y	(0, c)
Sumbu simetri	x = −b / 2a
Titik puncak	(−b / 2a, −D / 4a)
Diskriminan	D = b2 − 4ac

Pertanyaan yang Sering Ditanyakan

Apa bedanya persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat?

Persamaan kuadrat (ax² + bx + c = 0) dicari nilai x-nya, yaitu akar-akarnya. Fungsi kuadrat (f(x) = ax² + bx + c) menggambarkan hubungan x dan f(x) untuk semua nilai x, sehingga bisa digambar sebagai parabola. Akar persamaan kuadrat adalah titik potong grafik fungsinya dengan sumbu x.

Kenapa titik puncak disebut nilai maksimum atau minimum?

Karena titik puncak adalah titik paling ekstrem pada parabola. Jika parabola terbuka ke atas, tidak ada titik yang lebih rendah darinya (minimum). Jika terbuka ke bawah, tidak ada yang lebih tinggi (maksimum). Karena itu soal "luas terbesar" atau "biaya terkecil" sering diselesaikan dengan titik puncak.

Materi apa yang sebaiknya dipelajari setelah ini?

Lanjutkan ke turunan fungsi aljabar, yang punya cara lain mencari nilai maksimum dan minimum. Kamu juga bisa membuka semua catatan Matematika lainnya.